Harmonisk svingning klassisk.

Når vi vil beskrive den klassiske mekanik, benytter vi os enten af Newtons tre love eller vi opskriver den mekaniske energi. For en partikel med masse m, der bevæger sig i en retning med farten v og impuls p = m * v har vi for den kinetiske energi: 

ATO(5.1)

For den harmoniske svingning eller oscillator gælder at den potentielle energi er:

ATO(5.2)

Her er den cycliske frekvens. Den samlede energi er:

ATO(5.3)

Nu er en løsning til den harmoniske svingning (A er amplituden):

ATO(5.4)

For den samlede energi får vi:

ATO(5.5)

Projekt 1. Vis denne formel.

og dermed i følge idiotformlen:

ATO(5.6)


 

 Schrödingerligningen

Hvis vi vil beskrive kvantefysikken, så ved vi allerede fra forsøget med elektrondiffraktion at enhver partikel opfører sig som en bølge med en bølgelængde (DeBroglie):

ATO(5.7)

Vi ved også at elektronerne i hydrogenatomet befinder sig i stationære baner eller tilstande og at banerne er karakteriseret ved en bestemt energi og en bestemt elektronorbital.

 Disse orbitaler er funktioner kaldet bølgefunktioner  der afhænger af positionen af elektronen og af tiden t.

 Sandsynligheden for at finde elektronen et bestemt sted er givet ved:

ATO(5.8)

Da elektronen må være et eller andet sted må der gælde at den samlede sandsynlighed giver en, altså:

ATO(5.9)

I det følgende antager vi at bølgefunktionerne er uafhængig af tiden. Bølgefunktionerne opfylder en ligning kaldet Schrödinger-ligningen (Nobelpris 1933 med Dirac) som er en anden ordens differentialligning, der tager sit udgangspunkt i den kvantemekaniske energi:

ATO(5.10)

Her er h-streg defineret som: 

ATO(5.11)

Det første led i Schödingerligningen, vil  svare til den kinetiske energi medens det andet led repræsenterer  den potentielle energi. På højre side af ligningen har vi  En som er den samlede energi for en stationær tilstand n.

Denne ligning er i princippet nok til at bestemme alle energiniveauer i atomerne. For den harmoniske oscillator kan ligningen løses eksakt som vi vil se underneden. Også hydrogenatomer kan løses eksakt, om end der indgår tre koordinater (x,y,z) og man finder de kendte energiniveauer der afhænger af n alene. Videre kan man vise at kun overgange mellem s og p-orbitaler, p til d-orbitaler osv. er tilladte, medens en s til en s-orbital er udelukket. Regner man sandsynligheden for denne overgang finder man simpelthen værdien nul.

  I mange tilfælde må ligningen løses numerisk med computere. 

Denne gren af fysikken kaldes kvantemekanik. Kender man den potentielle energi kan man indsætte i Schrödingerligningen og løse den numerisk eller eksakt om muligt. Altså løse differentialligninger til den store guldmedalje. 

 

 


 

Kinetisk energi.

 Lad os prøve at argumentere for at den kinetiske energi har den underlige form. Betragt en bølge der udbreder sig i x-retningen med konstant fart: v og med frekvens:

ATO(5.12)

Bølgefunktionen er givet ved:

ATO(5.13)

Her er k bølgetallet:

ATO(5.14)

Opfatter vi bølgen som en partikel gælder at den har en impuls:

ATO(5.15)

Lad os differentiere bølgefunktionen to gange med hensyn til x. Vi finder:

ATO(5.16)

og

ATO(5.17)

Projekt 2. Vis disse to formler.

Der følger:

ATO(5.18)

Projekt 3. Vis at ligningen er rigtig.

Det sidste led er så netop den kinetiske energi, hvilket skulle vises.

 Vi kan opsummere  ved at sige at Schrödingerligningen er det instrument der bestemmer de kvantemekaniske energier og de tilhørende orbitaler når den potentielle energi er givet.


 

 

 

 

 

Harmonisk oscillator. 

 Som et eksempel lad os vælge den harmoniske oscillator. Denne repræsenterer bevægelsen af atomerne omkring deres ligevægtsstilling i iongitteret. Man finder at energien de stationære tilstande er givet ved:

ATO(5.19)

Grundtilstanden er givet ved n = 0, og den tilhørende bølgefunktion er faktisk en normalfordelingsfunktion (fig. 1):

ATO(5.20)

Her er:

ATO(5.21)

og A0 er en normalisering med værdien:

ATO(5.22)

Normalisering er nødvendig for at den samlede sandsynlighed for at finde partiklen et sted er lig en. 

I almindelighed finder man for de exciterede tilstande:

ATO(5.23)

Her er Hn de såkaldte Hermite-polynomier der kan generes ved følgende udtryk:

ATO(5.24)

Den underlige betegnelse i midten betyder at man differentierer med hensyn til x n gange. 

Her er de fem laveste polynomier:

ATO(5.25)

og

ATO(5.26)

Projekt 4. Vis at udtrykket for H1 og H2 er rigtige. 

 og An er en normalisering:

ATO(5.27)

I figur 2a til figur 2d, har vi vist bølgefunktionerne for de første fire exciterede tilstande.

 

Figur 1. Grundtilstanden for den harmoniske oscillator er beskrevet ved en normalfordelingsfunktion.

 

Figur 2. Bølgefunktioner de fire første exciterede tilstande for den harmoniske oscillator. Læg mærke til at antallet af nulpunkter svarer til n.

 

Heisenbergs usikkerhedsrelation.

Hvis man måler på en partikels impuls og sted samtidig viser det sig at det ikke kan gøres med vilkårlig præcision. Det blev først vist af W. Heisenberg (Nobelpris 1932) at jo bedre partiklens position er bestemt jo værre er bestemmelsen af impulsen! Dette meget mystiske resultat er fuldstændig ukendt i den klassiske fysik, hvor man altid i princippet kan måle ting til en vilkårlig nøjagtighed, men det kan man ikke i kvantefysikkens verden.

Det kunne Einstein aldrig forlige sig med og han var overbevist om at der måtte findes en bedre teori end kvantefysikken, hvor det var muligt at kende partiklens sted og impuls nøjagtigt. Det førte til mange interessante diskussioner mellem Bohr og Einstein. Specielt ved de såkaldte Solvay-konferencer kom Einstein hver morgen med en interessant ide som skulle gennemhulle kvantefysikken, men lige så sikkert som amen i kirken, kunne Bohr om aftenen tilbagevise Einstein.

Lad os se på denne usikkerhedsrelation. Vi vil se på grundtilstanden alene og vi vil vise at der gælder at for spredningen eller usikkerheden på x2   .

ATO(5.28)

og spredningen på p2

ATO(5.29)

 

 

Deraf følger at for produktet af disse spredninger:

ATO(5.30)

Projekt 1. Vis dette resultat.

Dette er Heisenbergs usikkerhedsrelation. Her gælder der lighedstegn, men man kan vise at der i almindelighed gælder ulighedstegn, således at produktet altid mindst er lig værdien på højre side.


Spredning i x.

For at vise det får vi brug for nogle integraler:

ATO(5.31)

og

ATO(5.32)

som vi bare tager fra en tabel.

Vi har på grund af antisymmetri at middelværdien af x er lig nul:

ATO(5.33)

Vi udregner middelværdien af x2 og finder:

ATO(5.34)

Projekt 5. Vis ved at benytte integralet I2 at ovenstående udtryk er rigtigt.

Det fører til at spredningen i sted er givet ved udtrykket i starten:

ATO(5.35)

 


 

Spredning i p.

På grund af antisymmetri er middelværdien af impulsen lig nul:

ATO(5.36)

Vi udregner derfor middelværdien af p2 og finder:

 

ATO(5.37)

 

Vi får nu brug for følgende udtryk:

ATO(5.38)

Projekt 6. Vis at det er korrekt.

Vi indsætter dette udtryk og udnytter de to integraler I0 og I2 og finder:

ATO(5.39)

Projekt 7. Vis at det er rigtigt.

Heraf fås for spredningen i impulsen:

ATO(5.40)