Typer af differentialligninger. 

Mange af de differentialligninger (forkortet til DE) vi støder på i fysikken på obligatorisk niveau  er for det meste  af: første orden og liniære. Nogle eksempler som vi har stiftet bekendtskab ved forsøg: 

  • Varmeledning (afkøling af et æg).
  • Radioaktivitet (henfald af protactinium).
  • Luftens tryk op gennem atmosfæren. 
  • Udstrømning af væske fra en beholder. 
  • Afladning af en kapacitor gennem en resistans.

Løsningen til disse er  af samme form, nemlig en eksponentiel udvikling. 

På højt niveau optræder også differentialligninger af anden orden og liniære. Det skyldes at den resulterende kraft i fysikken er den anden afledede af stedet.  Eksempler:

  • Harmonisk svingning (fjeder).
  • Jævn cirkelbevægelse.
  • Dæmpede harmoniske svingninger.
  • Bevægelse med konstant acceleration. 
  • Bevægelse med friktion  ved lave hastigheder.

Endelig optræder der differentialligninger af første orden, men som  ikke er  liniære. eksempel er:

  •  Den logistiske ligning, hvor en befolkning først vokser over alle bjerge og derefter stabiliserer sig.
  •  Bevægelse med friktion ved høje hastigheder, som faldskærmsudspring eller ved styrtløb på ski.

Generelt er de liniære differentialligninger de nemmeste at løse, fordi de kan omformes til almindelige ligninger. En anden ordens DE bliver således til en andengradsligning  hvor man blot skal kende de to rødder. Den samlede løsning bliver så en kombination af den enkelte løsning.  


 

 

 

 

 

 

 

Den liniære første ordens DE.

Generelt gælder der:

DEQ(1.1)

 

Her er v farten af processen og k er en konstant. Løsningen er forhåbentlig bekendt og er givet ved en eksponentialfunktion:

DEQ(1.2)

 

Lad os se på eksemplerne nævnt i indledningen.

 

Afkøling af et æg.

 

For varmeledning har vi at den udstrålede effekt P fra et æg med areal A, tykkelse h og varmeledningsevne   er bestemt ved temperaturforskellen mellem ægget og omgivelserne x:

DEQ(1.3)

 

Da den udstrålede energi gradvis bliver mindre gælder der:

DEQ(1.4)

 

hvor C er varmekapaciteten af ægget. Sammenholdes disse to ligninger fås en DE af første orden med:

DEQ(1.5)

 

 

 

Projekt 1. Vis at k er givet ved udtrykket ovenfor.

Vi ser at afkølingen af ægget bliver hurtigere jo større varmeledningsevnen og jo større areal. Til gengæld bliver afkølingen langsommere jo tykkere ægget er og jo større varmekapacitet det har. Tænk på havets temperatur om efteråret. Den holder sig rimeligt længe medens luften for længst er blevet afkølet.


Henfald af protactinium.

For et radioaktivt henfald gælder at aktiviteten A (antal kerner der omdannes per tid) vil være proportionalt med det resterende antal kerner:

DEQ(1.6)

 

Som forventet finder vi igen en eksponentialfunktion. Her kaldes k for sønderdelingskonstanten der er relateret til halveringstiden T1/2:

DEQ(1.7)

 

Jo længere halveringstiden er jo længere tager det for kernerne om at blive omdannet.


 

 

 

 

 

 

Trykket i en isotermisk atmosfære.

I 1g lærte vi dybdeformlen:

DEQ(1.8)

 

Projekt 2. Eftervis den sidste ligning.

Her er p0 trykket ved jordens overflade, er massefylden ved overfladen (regnes konstant i laveste orden) og h er højden over jorden. Det sidste udtryk fortæller os hvordan trykket ændrer sig med højden for små højdeændringer.

Benyttes idealgasloven fås:

DEQ(1.9)

 

Projekt 3. Vis dette.

 

 

 

Det ses at trykket og massefylden falder i takt med hinanden hvis vi antager at temperaturen er konstant. Heraf fås:

DEQ(1.10)

 

Projekt 5. Vis dette.

Trykket må altså falde eksponentielt med højden, forudsat at temperaturen er fast. Det er selvfølgelig en forkert antagelse, da vi ved at temperaturen falder med ca. 1 oC per 150 m. I en mere realistisk model (adiabatisk model)  kan man vise at resultatet stadigvæk er korrekt.


Udstrømning af væske fra en beholder.

For udstrømning af en væskesøjle H gennem et tyndt rør af radius r, længde L og viskositet (for vand er værdien 0,001 Pa * sek) gælder for laminar strømning Poiseuilles lov:

DEQ(1.11)

 

 

 

Her er Q den såkaldte flowrate, der fortæller hvor stort et volumen i kubikmeter der strømmer ud per sekund. Der gælder (væskesøjlen har areal A):

DEQ(1.12)

 

Som før finder vi en ligning med:

DEQ(1.13)

 

Projekt 6. Vis det.

Det er logisk nok at vandet strømmer hurtigere ud jo større radius af røret, og at det strømmer langsommere ud med stigende viskositet og længde af røret.


Afladning af en kapacitor gennem en resistans.

For en kapacitor med kapacitans C, gælder følgende sammenhæng mellem dens ladning Q og dens spænding U:

DEQ(1.14)

 

Strømstyrken I afhænger af hvor hurtigt kapacitoren aflades:

DEQ(1.15)

 

 

 

Af Ohms lov følger:

DEQ(1.16)

 

Her bliver konstanten:

DEQ(1.17)

 

 

Projekt 7. Vis det.

Jo større kapacitans og jo større modstand jo længere varer afladningen.


Den liniære anden ordens DE.

Vi tager udgangspunkt i Newtons anden lov:

DEQ(1.18)

 

Den dukker op de fleste steder hvor vi ser på bevægelse. Desværre indgår den anden afledede af stedet, hvilket gør livet mere besværligt.

Harmonisk svingning uden gnidning.

Betragt en fjeder med fjederkonstant k.

Hvis fjederen strækkes et stykke x fra ligevægtsstillingen så gælder for fjederkraften:

DEQ(1.19)

 

 

 

Der følger:

DEQ(1.20)

 

Projekt 8. Vis de enkelte trin.

Løsningen til denne ligning er givet ved en harmonisk bølge. Hvis tiden sættes til nul når fjederen svinger forbi ligevægtsstillingen så har vi:

DEQ(1.21)

 

Her kaldes A for amplituden. Massen vil herefter udføre harmoniske svingninger med denne amplitude. Nedenfor viser jeg et eksempel på en harmonisk svingning uden gnidning. På grafen er der vist  funktionen f(t) med amplituden 2 og cyclisk frekvens:

  • .

Harmonisk svingning med dæmpning.

Vi ser nu på en dæmpet harmonisk svingning. Vi inkluderer et bidrag fra gnidning. Hvis vi har en kugle der bevæger sig i en væske gælder for små hastigheder Stokes lov:

DEQ(1.22)

 

Derfor i almindelighed for lave hastigheder vil bevægelsesligningen være af formen:

DEQ(1.23)

 

Hvis dæmpningen er lille har vi:

DEQ(1.24)

 

og løsningen bliver:

DEQ(1.25)

 

Projekt 9. Vis at det er en løsning til den ovenstående DE.

På grafen er indtegnet den dæmpede harmoniske svingning funktionen g(t), hvor:

Svingningerne er identiske bortset fra at amplituden for den dæmpede svingning bliver formindsket eksponentielt med tiden.


Den ikke liniære anden ordens DE.

Vi ser nu til sidst på et eksempel på den tredje type og tager udgangspunkt i et frit fald med gnidning. Gnidningskraften vokser her med v2, derfor fås en bevægelsesligning af formen:

DEQ(1.26)

 

På grund af luftens gnidningsmodstand vil en faldskærmsudspringer eller en styrtløber på ski opnå en terminalhastighed:

DEQ(1.27)

 

Projekt 10. Vis det.

Løsningen er givet ved:

DEQ(1.28)

 

Projekt 11. Vis at det er en løsning.

Her ses et eksempel på et frit fald med gnidningsmodstand hvor:

Vi ser at faldhastigheden nærmer sig en terminalhastighed givet ved udtrykket ovenfor.